1. 서 론

다양한 해안지형을 갖는 곳에 항만 및 어항의 정온 상태를 유지하기 위해 해양 또는 해상 구조물이 건설된다. 이러한 경우 해안 및 해양 공학 분야에서는 항내 파고를 낮추기 위해 소파 기능을 갖도록 해상 구조물을 설계한다. 소파기능을 갖는 해상 구조물 설계에는 부분 반사 정도와 파랑의 상호작용에 따른 파고 분포를 조사하는 것이 큰 관심을 얻고 있다(Williams et al., 1995). Penny & Price(1944)는 해안 지역에서 파의 산란을 연구하였으며, Sommerfeld(1886)의 산란 이론을 반무한 방파제와 Gap 형태의 방파제에 적용하였다. Blue & Johnson(1949), Johnson(1952), Weigel(1962)는 Gap 형태 방파제를 다양한 해안지역에 설치했을 때의 파고 분포를 연구하였다. Pos & Kilner(1987)는 유한 요소법(FEM)에 기반한 완경사 방정식을 사용하여 수치 계산을 수행하였고, 방파제의 Gap을 통과하는 파의 간격을 계산하기 위해 Hunt(1990)는 Fredholm 적분 방정식의 첫 번째 변형을 사용하였다. Dalrymple & Martin(1990)은 한 라인으로 구분된 방파제의 파고 분포를 연구하기 위해 고유치 확장 접근법을 적용하였다. Abul-Azm & Williams(1997)은 Dalrymple & Martin(1990)과 동일한 접근 방식을 사용했지만, 다르게 배열된 방파제 구간으로 인한 파고 분포를 연구하였다. Wiliams & Crull(1993), 그리고 Wiliams et al.(1995)은 산란 문제에서 Green 함수를 기반으로 한 경계 적분 방정식을 활용하였다. Briggs et al.(1995)은 파 영역의 물리적 모델을 활용하여 실질적인 수단을 통해 무한 방파제로 인한 산란을 실험하였다. 파의 특성과 분포도를 다양한 해안 지형에 적용한 연구로서는 Kumar et al.(2014)이 포항 신항에서 파의 특성에 대한 밀도 분석을 하였고, Ji et al.(2023)은 복소 평면을 갖는 부유 해상 구조물에서의 수리 동역학적 문제를 수치해법으로 연구하였다.

McCormick & Kraemer(2002)는 프레넬 적분에 대한 다항식 근사치를 분석하는 것이 산란 문제를 해결하는 데 유용한 기술 중 하나라고 제안하였다. 이러한 방법 외에도, 파고 분포에 대한 솔루션은 푸리에 급수와 고유치 전개 접근법을 통해 해결 가능하지만, 이러한 접근법은 시간이 많이 걸리고 모든 해안지형 상황에 쉽게 적용할 수 없다. 즉, 다양한 지형에 설치되는 항만과 그 수역에서의 경계 영역은 상당히 복잡하며, 항만 경계의 계산 절점 설정과 영역의 분할은 설계되는 영역의 넓이에 따라 비례하여 계산시간과 파고분포의 정확성에 문제를 야기할 수가 있다. 이러한 문제를 극복하기 위해 본 연구에서는 다양한 지형에서 부분 반사율을 갖는 해양 구조물과 파랑에 의한 파고 분포를 전통적인 해석해의 대안인 프레넬 적분식을 검토한 후 경계요소법을 적용한 수치해와 비교하였다. 해석해와 수치해를 비교·검토함으로써 두 해석의 차이를 검증하여 더욱 정확한 파고분포를 예측할 수 있을 것으로 판단된다.

해역의 해상 구조물은 파장에 대한 길이비 변화와 파랑의 입사 각도 변화에 따른 해상 구조물과 파랑의 상호작용을 해석해와 수치해의 방법으로 연구하였으며, 소파 기능이 설치된 해상 구조물이 파고분포에 미치는 영향과 전파성을 분석하였다.

2. 기본이론

본 연구는 경계요소법을 적용한 수치해와 프레넬 적분을 적용한 해석해를 다양한 해안지형에 설치될 해상구조물과 파랑의 상호작용을 연구한 것이다. 우선, Green 제2정리를 기초로 한 경계요소법을 이용하여 해상 구조물에 기인한 파의 산란을 구하고, 해상 구조물의 경계를 미소 구간으로 분할한다(Fig. 1). 해상 구조물의 경계는 Γ로 표현되고, 해상 구조물의 길이는 Fig. 1과 같이 B로 표현된다. 유체가 비점성, 비압축성이며, 유동이 비회전성이라고 가정하면, 각 유체 영역에서의 유체 운동은 속도 퍼텐셜 Φx,y,t=Reψx,yeikσt로 나타낼 수 있다. 속도 퍼텐셜은 라플라스 방정식을 만족하며, 지배 방정식은 Eq. (1)과 같다.

Fig. 1

Definition sketch of numerical boundary

여기서, k는 파수(wave number)를 나타내고, ψ는 파동 함수를 나타낸다. Eq. (1)에서 x, y 평면의 파동함수 ψx,y는 Eq. (2)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서, ψix,y, ψrx,y, ψsx,y은 각각 입사, 반사, 산란의 파동함수를 나타낸다. 입사와 반사의 파동함수는 각각 Eq. (3)과 (4)로 나타낼 수 있다.

여기서, α는 파의 방향을 나타낸다.

파열은 Eq. (5)와 (6)에 나타낸 자유표면과 해저면의 경계조건에 종속된다.

여기서, σ는 각주파수, g는 중력가속도, h는 수심이다.

부분 반사에 대응하는 경계 조건은 Berkhoff(1976)에 의해 제안되었고, 이후 Isaacson & Qu(1990)에 의해 사용되었다. 부분 반사 경계 조건은 Eq. (7)과 같이 나타낸다.

여기서, n은 Γ에 대한 법선방향을 나타내고, β는 반사계수 KR과 관련된 복소 투과 계수를 나타내며, 반사계수는 Eq. (8)로 나타낸다.

부분 반사를 갖는 구조물과 유체영역에 Green 제2정리를 적용하면 Eq. (9)와 같은 경계적분방정식을 얻을 수 있다.

여기서, H01는 0차 제1종 Hankel 함수, x,y는 유체 영역에서의 지점, ξ,η는 해상 구조물의 경계 지점이다. 그리고, R=x-ξ2+y-η2이다. x,y를 Γ로 제안하면, 경계점에서의 경계적분방정식 Eq. (10)으로 나타낼 수 있다(Kim & Lee, 2010).

여기서, ξ',η'는 해상 구조물의 경계에서의 중앙점을 나타낸다.

유체영역의 x,y 지점에서의 파의 산란계수는 Eq. (11)로 나타낼 수 있다.

해상 구조물과 파랑의 상호작용에 대한 해석적 계산은 파의 산란 문제를 해결하기 위해 프레넬 적분법을 적용하였다. Fig. 1에서는 해상 방파제를 기준으로 해서 3개의 유체 영역을 구분한다. 우선, 방파제 좌우측은 방파제의 산란과 입사영역으로 나눌 수 있고, 방파제의 배후 부분은 산란영역으로 구분할 수 있다. 해석해 계산에서도 유체의 비점성, 비압축성, 비회전성을 적용한 속도포텐셜과 라플라스 방정식을 만족하는 Helmohltz 방정식인 Eq. (1)을 적용한다. 반사율을 갖는 Eq. (2) ~ (4)의 조건들을 Eq. (1)의 극좌표 형식에 적용하면(McCormick & Kraemer, 2002), 해상 구조물에 의한 파의 산란에 관한 해석해를 얻을 수 있다(McCormick & Kraemer, 2002). 3개의 유체 영역에 대한 입사 및 산란에 관한 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, u와 v는 입사와 산란 영역의 구분을 나타내며, 각각 Eq. (14)와 (15)로 나타낼 수 있다.

프레넬 적분에서는 sin 항에 대해서 Cu와 Cv로, cos 항에 대해서 Su와 Sv로 정의하면, Eq. (12)와 (13)은 Eq. (16)과 (17)로 나타낼 수 있다.

프레넬 적분을 Eq. (11)에 적용하면 해석해와 관련된 파의 산란을 구할 수 있다.

3. 결과 및 분석

3.1 방파제 길이가 B=1.0L인, 입사파 각도 α=90°인 경우

해상 구조물에 의한 파의 산란을 조사하기 위해 프레넬 적분과 Green 함수를 이용한 경계요소법(BEM)의 수치이론을 기반으로 계산 프로그램을 설정하였다. 길이가 다르고 입사파의 각도가 다른 해상 구조물에 의한 파의 산란을 분석하기 위해 수치적 접근과 해석적 접근으로 서로 비교·조사하였다.

본 연구에서의 계산 조건은 유체 영역 부근의 수심 h=10m, 파의 주기 t=10초, 입사파 각도 α=90°와 α=30°, 반사 계수 KR=0.5의 부분 반사로 설정하였고, 해상 구조물의 길이 B=1.0L과 B=4.0L로서 L은 파장을 나타낸다. Fig. 2는 수치해석(경계요소법) 및 해석해(프레넬 적분)을 통해 얻은 파의 산란 결과를 나타낸다. 여기서 파의 산란의 공간적 변화는 B=1.0L과 α=90°의 경우 세 개의 선택된 구간(라인 A, B, C)을 따라 나타난다. Fig. 2에서 가로축은 y축에 대한 파장의 비를 나타내고, 세로축은 산란계수를 나타낸다. 라인 A의 경우 방파제 배후 부근에서 약간의 차이가 있으나 이후 상당한 일치를 보이고 있다. 이는 방파제 배후에서의 경계 설정에서 해석해와 수치해의 격자 차이로 인한 것으로 판단된다. 라인 B의 경우는 수치해와 해석해가 완벽히 일치하는 것을 보인다. 라인 C의 경우 일부 구간에서 수치해가 다소 높게 나타나고 있으나 두 경우 모두 일치하는 것을 보인다. 수치해가 다소 높게 나타나는 이유는 방파제 모서리(라인 C)에 의한 산란파 해석에 있어서 해석해의 경우 해상 방파제의 두 개의 파 영역에서 위상차가 발생하기 때문이라고 판단된다(McCormick & Kraemer, 2002).

Fig. 2

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater B=1.0L and incident wave angle α=90°

Fig. 3은 B=1.0L과 α=90°의 동일한 계산 조건에 대한 해상 구조물과 파랑의 상호작용에 대한 등고선도를 나타낸다. 전반적으로 수치 해석과 해석적 해 사이의 등고선 플롯은 유사한 패턴을 발견할 수 있다. 그러나 Fig. 3(a)의 해석해는 Fig. 3(b)의 수치 해석보다 산란 및 입사파의 모드 수가 더 많은 것을 확인할 수 있다. 이는 경계요소법을 적용하는 수치해법이 근사화된 것과 격자수의 변화로 인해 수치해법에서 파의 모드 수가 더 적고 파의 대역이 더 넓게 나타나기 때문이다.

Fig. 3

The wave distribution contour plots for the length of breakwater B=1.0L and incident wave angle α=90°

3.2 방파제 길이가 B=1.0L인, 입사파 각도 α=30°인 경우

해상 구조물의 길이 B=1.0L에 파랑이 α=30° 각도로 경사져서 입사하는 경우 네 개의 선택된 구간(라인 A, B, C, E)에서 해상 방파제에 기인한 파의 산란을 분석하였다. 파랑이 경사져서 입사하는 경우 파의 산란범위가 확대되기 때문에 분석 라인을 추가로 설정하였다. Fig. 4에서 보면, 수치해(BEM)와 해석해(Fresnel Integral)의 결과가 양호하게 일치를 보였지만, 수치해의 산란 계수는 해석해의 산란 계수보다 약간 낮았다. 이는 BEM의 경우 해상 구조물에 대한 경사 입사파 전파에 의해 산란되는 파동 모드 수가 적기 때문으로 판단된다. 즉, Eq. (9)의 유체영역의 x,y에서 격자에 포함되지 않은 blank 영역이 존재함으로써 낮은 수치의 산란계수를 나타내는 것으로 판단된다. 유체영역에서의 라인 분석을 보완하기 위해 등고선도를 Fig. 5에 나타냈다.

Fig. 4

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater B=1.0L and incident wave angle α=30°

Fig. 5

The wave distribution contour plots for the length of breakwater B=1.0L and incident wave angle α=30°

Fig. 5는 Fig. 4의 동일 계산 조건 하에서 해상 구조물 근처에서의 파역 전체 파고 분포를 나타낸다. 전반적으로 수치해석 결과와 해석해 결과 사이의 등고선도는 유사한 패턴을 나타낸다. Fig. 5 (a)와 (b)를 비교하면, 수직 입사파의 경우와 유사한 경향성을 나타내지만, 해상 구조물의 좌측 파장, 즉 입사파 영역에서는 수치 근사로 인해 파고 분포가 부드러운 확대 경계를 갖는 파형이 나타났다. 해상 방파제 배후에서 해석해의 경우 정밀하게 격자 분포가 있는 반면에 수치해에서는 파의 광대형 밴드폭이 흡수하였기 때문으로 판단된다.

3.3 방파제 길이가 B=4.0L인, 입사파 각도 α=90°인 경우

해상 구조물의 길이를 B=4.0L으로 확대하고, 파랑이 α=90°로 입사한 경우 수치해석(경계요소법) 및 해석해(프레넬 적분)을 통해 얻은 파의 산란을 분석하였다. Fig. 6은 Fig. 2의 결과와 동일한 계산조건으로 세 개의 선택된 구간(라인 A, B, C)에서의 파의 산란을 나타낸다. Fig. 6에서 보면 해석해(프레넬 적분)과 수치 해석(BEM)을 비교했을 때, 두 해석 간에 상당한 일치가 있었지만, 약간의 차이가 발견된다. 이는 해상 구조물의 길이가 길어지고 경계 요소가 증가했기 때문으로 판단된다. 또한, 라인 A에서 해석해의 경우 반사계수의 적용으로 인해 상당히 낮은 범위의 산란계수 값을 나타냄으로서 파고의 정온성이 일정하게 나타났다. 이는 프레넬 적분의 위상차에 기인한 것으로 판단된다.

Fig. 6

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater B=4.0L and incident wave angle α=90°

Fig. 7은 위에서 설명한 동일한 계산 조건에 대해 해상 구조물에 의한 파동 산란의 등고선도를 나타낸다. 전반적으로 두 해의 등고선도는 유사한 패턴을 보이며, 이러한 패턴은 B=1.0L보다 B=4.0L에서 더 높은 정렬을 보인다. 또한, B=4.0L에서 파동 대역폭은 B=1.0L보다 더 좁게 나타낸다. 수치해는 근사화되었기 때문에 파동 모드의 수는 더 적고 파동 대역폭은 더 넓게 나타난다.

Fig. 7

The wave distribution contour plots for the length of breakwater B=4.0L and incident wave angle α=90°

4. 결 론

본 연구는 다양한 해안지형에서 부분 반사율을 갖는 해상 구조물과 파랑에 의한 파고 분포를 연구한 것이다. 기본적인 이론은 프레넬 적분을 기반으로 한 해석해와 경계적분방정식을 기본으로 한 수치해법의 경계요소법을 파의 산란에 대하여 비교·분석을 하였다. 해역의 해상 구조물은 파장에 대한 길이비 변화와 파랑의 입사 각도 변화에 따른 파고 분포를 분석하였으며, 소파 기능이 설치된 해상 구조물로 인한 산란이 해역에 미치는 영향과 전파성을 분석하였다.

(1) 파장에 대한 방파제의 길이비가 1.0L이고 파랑의 입사각도가 법선인 경우, 방파제 배후 부근에서 약간의 차이가 있으나 이후 상당한 일치를 보였고(라인 A), 약간의 차이는 방파제 배후에서의 경계 설정에서 해석해와 수치해의 격자 차이로 인한 것으로 판단된다. 라인 C의 경우 일부 구간에서 수치해가 다소 높게 나타난 이유는 방파제 모서리(라인 C)에 의한 산란파 해석에 있어서 해석해의 경우 해상 방파제의 두 개의 파 영역에서 위상차가 발생하였기 때문이라 판단된다.

(2) 등고선도의 경우 전반적으로 수치 해석과 해석해 사이에 유사한 패턴이 나타났고, 해석해의 경우 수치 해보다 산란 및 입사파의 모드 수가 더 많은 것을 확인하였다.

(3) 입사파가 경사져서 입사하는 경우, 수치해와 해석해의 결과가 양호하게 일치를 보였지만, 수치해의 산란 계수는 해석해의 산란 계수보다 약간 낮았다. 이는 유체영역에서 격자에 포함되지 않은 blank 영역이 존재함으로써 낮은 수치의 산란계수를 나타내는 것으로 판단된다.

(4) 경사 입사파의 등고선도는 두 해석 모두 유사한 패턴을 나타냈고, 해상 구조물의 좌측 파장, 즉 입사파 영역에서는 수치 근사로 인해 파고 분포가 부드러운 확대 경계를 갖는 파형이 나타났다.

(5) 해상 구조물의 길이를 확대한 경우, 두 해석 간에 상당한 일치가 있었지만, 약간의 차이가 발견되었다. 이는 해상 구조물의 길이가 길어지고 경계 요소가 증가했기 때문으로 판단된다.

(6) 확대된 길이에서의 등고선도는 유사한 패턴을 보였고, 파동 대역폭은 길이비가 작은 것보다 더 좁게 나타났다. 수치해는 근사화되었기 때문에 파동 모드의 수는 더 적고 파동 대역폭은 더 넓게 나타났다.

이상으로 본 연구의 결과는 다양한 해안 및 해양 지형을 갖는 해역에서 파랑 데이터를 습득하여 계산할 때 정확한 파고분포를 제시할 수 있으며, 해상 구조물 설계 시 그 방향과 길이 등 해상 구조물의 제원 설정에 정보를 제공할 수 있다.

향후 다양한 해역에서 수심변화에 따른 파랑의 상호작용과 해저 바닥마찰에 따른 파랑의 상호작용에 대해 본 연구의 기법을 적용함으로써 보다 정밀한 파고분포를 예측하는 연구를 진행할 계획이다.