Wave Scattering at the Offshore Structure with Partial Reflecting Boundary Using Polynomial Approximation

Jinhyeaok Jang; Hojin Lee; Sungduk Kim

doi:10.14481/jkges.2025.26.9.5

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Journal of the Korean Geo-Environmental Society. 1 September 2025. 5-12
https://doi.org/10.14481/jkges.2025.26.9.5

Wave Scattering at the Offshore Structure with Partial Reflecting Boundary Using Polynomial Approximation

다항식 근사해법을 이용한 부분 반사율을 갖는 해상구조물에서의 파랑의 산란에 관한 연구

Jinhyeaok Jang¹

Hojin Lee²^*

Sungduk Kim³

장 진혁¹

이 호진²^*

김 성덕³

¹PhD Candidate, School of Civil Engineering, Chungbuk National University

²Professor, School of Civil Engineering, Chungbuk National University

³Instructor, School of Civil Engineering, Chungbuk National University

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

This study investigated the wave field around a breakwater when a coastal structure with partial reflectivity is installed in the sea area. The basic theory is to compare and analyze the scattered waves in the area behind the breakwater by applying the Fresnel integral and polynomial approximation method. Afterwards, it was compared and analyzed the numerical results of the boundary element method and the polynomial approximation method, which are numerical solution methods based on boundary integral equations. The offshore structure was analyzed for its length ratio to wavelength and the scattering coefficient according to the change in the incident angle of the wave. The Fresnel integral and polynomial approximation solutions gave perfect agreement in the calculation results when the wave was incident in both the normal and oblique directions. The polynomial approximation and numerical solutions were almost in agreement except for a slight difference behind the breakwater. When using a numerical solution, the calculation time was reduced by about 30% compared to when using the Fresnel integral. The results of this study can present the influence of scattering caused by each structure when placing breakwaters and offshore structures during port construction, and can provide information on setting specifications for breakwater design and interaction with surrounding waters.

Keywords

Polynomial approximation

Wave scattering

Boundary element method(BEM)

Breakwater

port

본 연구는 부분 반사율을 갖는 해상 구조물이 해역에 설치될 때 방파제에 기인한 주변의 파랑장을 조사한 것이다. 기본적인 이론은 프레넬 적분과 다항식 근사해법을 적용하여 방파제 배후 영역에서의 산란파에 대하여 비교·분석을 하였다. 이후 다항식 근사해법과 경계적분방정식을 기본으로 하는 수치해법인 경계요소법의 수치결과와도 비교·분석하였다. 해상 구조물은 도제 형태로서 파장에 대한 길이비와 파랑의 입사각도 변화에 따른 산란계수를 분석하였다. 파랑이 법선방향 및 경사진 방향으로 입사할 때 모두에서 프레넬 적분과 다항식 근사해법이 계산 결과 값이 완벽히 일치하였다. 다항식 근사해법과 수치해의 경우 방파제 배후에서의 약간의 차이를 제외하고는 거의 일치하였다. 수치해법을 사용하는 경우에는 프레넬 적분을 사용한 경우보다 약 30%의 시간 감소 효과가 나타났다. 본 연구의 결과를 통해 항만 걸설 시 방파제 및 해상 구조물을 배치할 때 각각의 구조물로 인하여 발생되는 산란의 영향을 제시할 수 있으며, 방파제 설계에 대한 제원 설정과 주변해역과의 상호작용에 대한 정보를 제공할 수 있다.

키워드

다항식 근사치

파의 산란

경계 요소법

방파제

항만

MAIN

1. 서 론
2. 기본이론
3. 결과 및 분석
3.1 프레넬 적분식과 다항식의 비교
3.2 다항식과 수치해법의 비교
4. 결 론

1. 서 론

최근 신항만 건설은 방파제의 장대한 길이와 그 위치가 수심이 깊은 외해에 설치되는 경향이 많이 있다. 여러 시설물 중에서 해상 방파제의 역할은 대단히 크며, 신항만의 가동률 향상과 안정성확보 등에 큰 영향을 미치고 있다. 해상 구조물은 파랑의 산란을 강하게 일으키기 때문에 해상 구조물 제두부 부근에서 발생한 산란파의 영향이 중요한 요소가 된다. 이러한 산란파는 인근의 해상 구조물과 상호간섭을 일으키고, 파랑의 입사방향에 따라 항내정온도 영향을 미치기 때문에 산란파에 의한 파랑장의 파악은 해상 구조물의 중요한 설계요소가 된다(Bowman & Pranzini, 2003). 다양한 해양 환경에서의 산란파의 연구는 Sommerfeld(1886)의 회절 이론을 적용하여 오랜 전부터 연구가 진행되었다(Penny & Price, 1944; Blue & Johnson, 1949; Wiegel, 1962). 해상 구조물에 의한 산란파 연구는 해석적 연구와 수치적 연구를 통해 다양하게 조사되었다. Hwang & Tuck(1970)와 Monk et al.(2013)은 두 개의 해석적 해를 파 에너지 전파성을 고려해 반무한 방파제에 적용하여 분석하였다. Chen(1986)은 항만의 바닥 마찰과 흡수 경계를 갖는 해상 구조물에서의 파의 산란을 조사하였고, Millar et al.(2007)는 경계요소법(BEM)과 해석적 방법의 정확성을 비교·분석하기 위해 해상 구조물을 대상으로 수치 계산 시간의 효율성을 검증하였다. Venugopal & Smith(2007)은 Boussinesq 파동 모델인 Mike21 BW를 이용하여 하향 파동 영역에서 파동 에너지의 부족을 평가하기 위해 오버토핑 유형의 단일행동에 대한 파동장을 평가하였고, 산란으로 인한 파력 에너지의 재분배성을 조사였다. Palha et al.(2010)는 완경사 포물선 방정식의 파동 모델인 REF/DIF를 이용하여 해상 구조물 배후에서 파랑이 영향을 미치는 영역인 파동 그림자(Shadow)를 평가하였다. McIver(2005)는 수학적으로 정확한 경계요소법과 관련된 문제를 해상구조물에 적용하여, 완경사 방정식과 Boussinesq 유형 모델의 계산 시간 또는 격자 크기와 경계의 제한이 없는 수학적 모델을 제시하였다.

항만 설계에서 해상 구조물의 적절한 설계와 배치에 관한 연구 조사는 Diab et al.(2017)이 수행하였고, Elchahal et al.(2009)은 항만 영역으로 전달되는 입사파고의 높이가 증가할수록 해상 방파제의 효율성이 감소된다는 것을 확인하였다. Tomasicchio et al.(2013)과 Vidal et al.(2006)은 항만에서 해상 구조물 손상의 주된 원인은 입사한 강력한 파랑과 그에 의한 산란이며, 그 영향성과 특성을 매개변수법으로 조사하였다. Bowman & Pranzini(2003)은 경사 입사하는 파와 파의 다방향성이 해상 방파제에 미치는 영향성을 매개변수화 하여 조사하였다. Kumar & Gulshan(2017)은 극한 파랑 환경에서의 항만의 부진동에 관한 조건을 제시하였다.

해상 구조물의 반사율 적용에 관해서 Hamanaka(1997)는 부분 반사를 포함한 다양한 경계 조건에 대해서 파동장을 연구하였고, Williams et al.(1995)는 부분적으로 반사율을 갖는 경계를 가진 임의 형태의 항만에서 다방향 불규칙파에 의한 산란이 항만 및 해상 구조물에 미치는 영향성을 수치모델로 조사하여 파동의 예측을 구현하였다. Elchahal et al.(2008)은 항만 안벽 또는 측벽의 반사율이 부 방파제의 성능에 미치는 영향을 조사하였다.

파랑의 산란 등과 같은 파동장의 연구는 경계조건 설정 등의 방대함으로 인해 영역에서의 해석에 많은 시간이 걸린다. 계산 영역에서의 시간을 줄이기 위해서 McCormick & Kraemer(2002)는 해석해의 일종인 프레넬 적분과 프레넬 적분에서의 다항식 근사치를 반무한제 방파제에 적용하여 파랑의 회절 문제를 조사하였다. 그러나, 복잡한 해안 지형을 갖는 항만 및 해안으로부터 멀리 떨어진 지역에 설치된 해상 구조물의 해역에서 해석해로만 계산하는 것은 시간 효율이 상당히 떨어지기 때문에 해상 영역이 넓은 해역에서는 수치해법의 방법이 필요하다. 본 연구는 부분 반사율을 갖는 해상 구조물이 해역에 설치될 때 주변의 파랑장을 조사한 것이다. 이때, 해석해인 프레넬 적분식과 산란파의 정확도를 파악하기 위하여 프레넬 적분의 근사해법인 다항식을 비교함으로써 다항식의 적용성을 검토하였다. 그리고, 해역의 방대한 영역에 격자를 형성하여 수치계산을 수행할 수 있는 경계요소법을 적용하여 프레넬 적분의 근사해법인 다항식의 계산결과와 비교하였다. 비교 대상의 해상 구조물은 도제 형태로서 부분 반사율을 갖는 소파기능이 있는 방파제로 설정하였고, 방파제의 제원은 파장에 대한 해상 방파제의 길이비로 하고, 입사각도는 경사져서 입사하는 각도로 설정하였다. 본 연구는 방대한 해역에서의 파고분포를 기존의 해석해 만을 가지고 설정하기는 어렵기 때문에 복잡한 해석해를 단순화 시킨 다항식을 적용하여 검토함으로써 해석해가 가지고 있는 정확성을 가지고 복잡하고 다양한 해역에서의 파고분포를 계산할 수 있다.

2. 기본이론

본 연구는 일자형 도제 방파제가 다양한 지형 조건을 갖는 해역에 설치될 때의 파고분포를 조사한 것이다. 해역에서의 파고분포 계산은 프레넬 적분을 적용한 해석해와 프레넬 적분의 근사해법인 다항식의 해석해의 결과를 서로 비교·분석한 것이다.

Fig. 1은 파랑이 입사할 때 도제 방파제 모식도 및 파랑의 영역을 구분한 것이다. 방파제의 길이는 $B$ 이고, 방파제의 좌측 해역은 영역 I(산란+입사), 우측 해역은 영역 II(산란+입사), 방파제 배후의 해역은 영역 III(산란)으로 구분한다. 영역 I은 방파제 왼쪽 끝부분으로 인한 산란과 방파제 왼쪽 끝부분에서의 입사(산란+입사)로 구분하고, 영역 II는 방파제 오른쪽 끝부분으로 인한 산란과 오른 쪽 끝 부분에서의 입사(산란+입사)로 구분하며, 영역 III는 방파제 오른쪽 끝과 왼쪽 끝부분으로 인한 산란으로 구분한다.

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Fig. 1

Definition sketch of analytical solution

Fig. 1에 표시된 해석해의 기하학적 조건은 극좌표 형태의 Eq. (1)로 나타낼 수 있다.

(1)

\frac{\partial^{2} ϕ (r, θ)}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ (r, θ)}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ (r, θ)}{\partial θ^{2}} + k^{2} ϕ (r, θ) = 0

여기서, $ϕ$ 는 파동함수, $k$ 는 파수(wave number), 속도포텐셜 $Φ (x, y, t) = R e [ϕ (x, y) e^{i k σ t}]$ 로 나타낼 수 있다. 이때 속도포텐셜은 유체의 비회전, 비점성, 비압축성을 만족한다.

해상 구조물에 부분 반사율을 적용하기 위해 McCormick & Kraemer(2002)가 제안한 것을 식 (1)에 적용하면 식 (2)와 같이 반사율이 적용된 파동함수식이 만들어 진다.

(2)

< 영역 I > (i = 1, j = 1, 2) ϕ_{1} (r_{1}, θ_{1}) = f (u_{11}) e^{- i \{k r_{1} \cos (θ_{1} - α_{1}) - 2 π ε\}} + K_{R} g (- v_{21}) e^{- i \{k r_{1} \cos (θ_{1} + α_{1}) - 2 π ε\}} + f (- u_{12}) e^{- i \{k r_{2} \cos (θ_{2} - α_{2}) - 2 π ε\}} + K_{R} g (- v_{22}) e^{- i \{k r_{2} \cos (θ_{2} + α_{2}) - 2 π ε\}}

(3)

< 영역 I I > ϕ_{1} (r_{1}, θ_{1}) = f (- u_{11}) e^{- i \{k r_{1} \cos (θ_{1} - α_{1}) - 2 π ε\}} + K_{R} g (- v_{21}) e^{- i \{k r_{1} \cos (θ_{1} + α_{1}) - 2 π ε\}} + f (u_{12}) e^{- i \{k r_{2} \cos (θ_{2} - α_{2}) - 2 π ε\}} + K_{R} g (- v_{22}) e^{- i \{k r_{2} \cos (θ_{2} + α_{2}) - 2 π ε\}}

(4)

< 영역 I I I > ϕ_{1} (r_{1}, θ_{1}) = f (- u_{11}) e^{- i \{k r_{1} \cos (θ_{1} - α_{1}) - 2 π ε\}} + K_{R} g (- v_{21}) e^{- i \{k r_{1} \cos (θ_{1} + α_{1}) - 2 π ε\}} + f (- u_{12}) e^{- i \{k r_{2} \cos (θ_{2} - α_{2}) - 2 π ε\}} + K_{R} g (- v_{22}) e^{- i \{k r_{2} \cos (θ_{2} + α_{2}) - 2 π ε\}}

여기서, $α_{i}$ 는 입사파 각도를 나타내고, $ε$ 은 해상 구조물의 2개의 파랑역 사이에서 입사파의 위상차를 수정한 값이다. $u_{i j}$ 와 $v_{i j}$ 는 입사파와 산란파의 영역 구분을 나타내고 $f$ 와 $g$ 의 함수는 Eq. (7)과 (8)로 나타낸다.

(5)

u_{i j} = 2 \sqrt{k r_{j} / π} \sin \frac{θ_{j} - α_{j}}{2}

(6)

v_{i j} = - 2 \sqrt{k r_{j} / π} \sin \frac{θ_{j} + α_{j}}{2}

(7)

f (u_{i j}) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i π / 4} \int_{- \infty}^{u_{i j}} e^{- i π σ^{2} / 2} d σ

(8)

g (v_{i j}) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i π / 4} \int_{- \infty}^{v_{i j}} e^{- i π σ^{2}} d σ

$u_{i j}$ 와 $v_{i j}$ 가 양수이면 입사파 영역이고, Eq. (7)과 (8)은 프레넬 적분식을 적용함으로써 다음 Eq. (9)와 (10)으로 나타낼 수 있다.

(9)

f (u_{i j}) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i π / 4} [\frac{1}{2} (1 - i) + \{C (u_{i j}) - i S (u_{i j})\}] = \frac{1}{2} [\{1 + C (u_{i j}) + S (u_{i j})\} + i \{1 + C (u_{i j}) + S (u_{i j})\}]

(10)

g (v_{i j}) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i π / 4} [\frac{1}{2} (1 - i) + \{C (v_{i j}) - i S (v_{i j})\}] = \frac{1}{2} [\{1 + C (v_{i j}) + S (v_{i j})\} + i \{C (u_{i j}) - S (u_{i j})\}]

$u_{i j}$ 와 $v_{i j}$ 가 음수이면 산란파 영역이고, Eq. (7)과 (8)은 다음 Eq. (11)과 (12)로 나타낼 수 있다.

(11)

f (- u_{i j}) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i π / 4} [\frac{1}{2} (1 - i) + \{C (u_{i j}) - i S (u_{i j})\}] = \frac{1}{2} [\{1 - C (u_{i j}) - S (u_{i j})\} + i \{S (u_{i j}) - C (u_{i j})\}]

(12)

g (- v_{i j}) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i π / 4} [\frac{1}{2} (1 - i) - \{C (v_{i j}) - i S (v_{i j})\}] = \frac{1}{2} [\{1 - C (v_{i j}) - S (v_{i j})\} + i \{S (v_{i j}) - C (v_{i j})\}]

여기서, $C (u_{i j})$ 와 $S (u_{i j})$ , $C (v_{i j})$ 와 $S (v_{i j})$ 는 프레넬 적분함수로서 Eq. (13)과 (14)로 나타낼 수 있다.

(13)

C (u_{i j}) = \int_{0}^{u_{i j}} \cos \frac{π}{2} σ^{2} d σ

(14)

S (u_{i j}) = \int_{0}^{u_{i j}} \sin \frac{π}{2} σ^{2} d σ

$C (u_{i j})$ 와 $S (u_{i j})$ 의 프레넬 적분함수를 프레넬 적분의 근사해인 다항식을 적용하면 Eq. (15)와 (16)으로 나타낼 수 있다(McCormick & Kraemer(2002)).

(15)

C (u_{i j}) = - C (- u_{i j}) ≅ 0.5 + \frac{(1 + 0.926 u_{i j}) \sin (\frac{π}{2} u_{i j}^{2})}{2 + 1.792 u_{i j} + 3.104 u_{i j}^{2}} - \frac{\cos (\frac{π}{2} u_{i j}^{2})}{2 + 4.142 u_{i j} + 3.492 u_{i j}^{2} + 6.670 u_{i j}^{3}} + ε (u_{i j})

(16)

S (u_{i j}) = - S (- u_{i j}) ≅ 0.5 + \frac{(1 + 0.926 u_{i j}) \cos (\frac{π}{2} u_{i j}^{2})}{2 + 1.792 u_{i j} + 3.104 u_{i j}^{2}} - \frac{\sin (\frac{π}{2} u_{i j}^{2})}{2 + 4.142 u_{i j} + 3.492 u_{i j}^{2} + 6.670 u_{i j}^{3}} + ε (u_{i j})

여기서, $ε (u_{i j}) \leq 0.002$ 이다.

경계요소법에 적용하여 파역에서의 산란파를 해석하기 위해서는 다음의 경계적분방정식을 이용한다.

(17)

ϕ_{s} (x, y) = - \frac{i}{4} \int_{Γ} \{ϕ_{s} (ξ, η) \frac{\partial}{\partial n} (H_{0}^{(1)} (k R)) - K_{R} \frac{\partial ϕ_{s} (ξ, η)}{\partial n} (H_{0}^{(1)} (k R))\} d Γ

여기서, $ϕ_{s}$ 는 산란파, $(x, y)$ 는 유체영역의 경계지점, $(ξ, η)$ 는 구조물의 경계 지점, $H_{0}^{(1)}$ 는 0차 제1종 Hankel 함수, $Γ$ 는 해상 구조물의 경계를 나타낸다.

Eq. (15)와 (16)을 Eq. (13)과 (14)에 각각 대입하면 프레넬 적분의 근사해인 다항식으로 인한 파의 산란식 (18)을 구할 수 있다.

(18)

K_{d} = \sqrt{ϕ_{i j} {(r_{i j}, θ_{i j})}^{2}}

3. 결과 및 분석

3.1 프레넬 적분식과 다항식의 비교

부분 반사율을 갖는 해상 구조물에 기인한 파의 산란을 검토하기 위해 해석해인 프레넬 적분과 프레넬 적분의 근사해법인 다항식을 적용하여 계산 프로그램을 작성하였다. 해상 구조물의 길이 및 파랑의 입사각도가 변화할 때 해상 구조물에 의한 파의 산란을 두 해석해를 가지고 비교하였다.

본 연구에서의 수치모의 계산 조건은 유체 영역 부근 수심 $h = 10 m$ , 파의 주기 t=10초, 파랑의 입사파 각도 $α = 90 °$ , $30 °$ , 반사율 $K_{R} = 0.5$ 로 방파제 주위를 둘러싸는 소파기능의 부분 반사로 설정하였고, 해상 구조물 길이 $B = 1.0 L$ 로 설정했으며, $L$ 은 파장을 나타낸다.

Fig. 2는 프레넬 적분과 다항식을 통해 얻어진 파의 산란 결과를 나타내며, 방파제의 가운데를 중심으로 좌측까지 6개의 선택된 구간(라인 A, B, C, D, E, F)을 따라 조사하였다. Fig. 2에서 가로축은 방파제의 가로 길이에 대한 파장의 비를 나타내고, 세로축은 산란계수를 나타낸다. 여기서, 실선은 프레넬 적분에 의한 산란계수를 나타내고, 사각형의 기호는 다항식으로 계산된 산란계수를 나타낸다.

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Fig. 2

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater $B = 1.0 L$ and incident wave angle $α = 90 °$ for Fresnel Integral and Polynomial Approximation

입사파가 $α = 90 °$ 의 각도로 입사하기 때문에 방파제 배후로 산란파의 값은 대칭적으로 보이며, 전반적으로 프레넬 적분과 다항식의 결과 값이 완벽히 일치하는 것으로 나타난다. 따라서 프레넬 적분식의 경계 설정 및 복잡한 이론식 전개과정으로 인한 계산시간 소모를 다항식으로 확연히 줄일 수 있을 것으로 판단된다. 단, 실선(프레넬 적분)이 사각형 모양(다항식)의 정중앙을 따라 분포하지 않고, 약간의 차이가 발생되는 것을 알 수 있다. 이는 Eq. (15)와 (16)에서도 언급했듯이 파랑의 위상차로 인해서 발생된 것이며, 그 값은 $ε (u_{i j}) \leq 0.002$ 이 된다. 이 차이는 상당히 미미하기 때문에 프레넬 적분 대신에 다항식 적용이 가능하다.

라인 A에서 라인 C까지는 방파제 중심부의 배후를 나타내며, 방파제의 차단 역할로 인해 파고가 안정적으로 분포하는 것으로 나타난다. 가로축의 좌측 끝은 방파제에 소파제가 설치된 부근이어서 산란계수 값이 현저히 작아짐을 알 수 있고, 소파제의 역할이 효과적으로 작용하는 것으로 보인다. 반면에 라인 D에서 라인 F까지는 입사파와 산란파가 중복되는 영역으로서 파고의 진폭이 발생하였고, 방파제 끝단인 라인 F에서의 산란계수 값이 가장 높게 나타났다. 이는 방파제 끝단에서의 산란 영향이 크게 작용하고 있으며, 소파기능이 없는 방파제에서는 파의 산란으로 인해 방파제 기능을 현저히 저하시키는 원인이 되므로 파랑의 입사각도에 따른 소파제를 설치할 필요가 있다.

Fig. 3은 방파제의 길이가 $B = 1.0 L$ 이고, 파랑의 입사각 $α = 30 °$ 일 때, 프레넬 적분과 다항식을 통해 얻어진 파의 산란 결과를 나타낸 것이다. 6개의 선택된 구간(라인 A, B, C, D, E, F)은 방파제 우측 입사 영역부터 방파제 배후 라인 까지로 설정하였다. 역시 실선과 기호는 프레넬 적분과 다항식을 각각 나타낸다.

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Fig. 3

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater $B = 1.0 L$ and incident wave angle $α = 30 °$ for Fresnel Integral and Polynomial Approximation

입사파가 경사져서 입사하는 경우도 파랑의 산란계수가 두 해석 간 거의 완벽히 일치하였다. 그러나 위상차이로 인해서 실선이 사각형의 중앙점을 통과하지 않고 약간의 차이가 드러났으나, 그 차이는 미미하였다. 따라서, 수치계산 시간이 많은 경우와 복잡한 경계 설정을 해야 될 경우 프레넬 적분대신 다항식을 적용하여 방파제의 배치 설계가 가능하다고 판단된다.

Fig. 3에서 보듯이 파랑이 $α = 90 °$ 로 입사한 경우보다 경사져서 입사한 경우 파동의 fluctuation이 전반적으로 나타났으며, 이는 방파제 끝단에서의 산란 영향이 방파제 배후에 영향을 미쳤기 때문이다. 이 때, fluctuation은 파동의 출렁임을 나타낸다. 특히, 라인 A에서 파고의 고저차가 높게 나타났고, 산란계수의 값도 높은 분포를 나타냈다. 방파제 중심부의 라인 B, C, D에서는 방파제의 차단 및 소파기능으로 인해 방파제 배후(가로축 좌측 부분)에서의 산란계수 값이 낮게 나타났다. 반면에 다른 라인에서는 경사 입사파의 영향으로 산란계수 값이 높게 나타났다. 라인 E와 F는 방파제 배후임에도 파동의 fluctuation 높이차가 크게 나타났으며, 이는 입사파와 산란파가 중첩이 되어 직접적으로 방파제에 입사하기 때문에 파고분포가 높게 나타났다. 따라서, 해상에 방파제를 배치할 때, 입사파의 주방향을 확인해야 하며, 방파제 배후 해역에서의 정온도를 유지하기 위해서 방파제를 길게 배치하거나 파랑을 막을 수 있도록 우각부 형태의 방파제를 배치할 필요가 있다.

3.2 다항식과 수치해법의 비교

프레넬 적분의 근사해인 다항식과 경계적분방정식을 기초로 한 수치해법인 경계요소법(BEM)을 적용하여 해상 구조물 배후에서의 산란파의 영향을 분석하였다. 수치계산의 조건은 3.1항에서 제시한 값을 적용하였으며, 방파제의 길이 $B = 1.0 L$ 이며, 파랑이 $α = 90 °$ 로 입사한 경우를 비교하였다.

방파제 배후에서의 산란파를 비교하기 위해서 역시 6개의 구간(라인 A, B, C, D, E, F)을 선택하여 해상 방파제에 의한 정온성을 분석하였다(Fig. 4). Fig. 4에서 다항식과 수치해를 비교해 보면 전반적으로 그 결과값이 일치하는 것으로 나타났고, Fig. 4의 라인 C는 완벽히 일치하는 것으로 나타났다. 반면에 방파제 중앙부 라인인 A와 B에서는 방파제 배후(Y/L=0.2) 부군에서 수치해의 결과값이 다항식의 경우보다 다소 낮게 나타났는데, 이는 수치해의 경우 방파제와 붙어있는 영역을 즉, Y/L=0.1과 0.2 사이의 해역을 Blank 영역으로 처리했기 때문이라 판단된다. 그러나, 그 외의 영역에서는 완벽히 일치하는 것으로 나타났다.

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Fig. 4

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater $B = 1.0 L$ and incident wave angle $α = 90 °$ for Polynomial Approximation and Boundary Element Method

방파제 끝단으로 인해 산란의 영향을 받는 라인 D, E, F에서는 약간의 파동이 나타났으며, 이러한 파동에도 불구하고 수치해와 해석해가 거의 일치하는 것으로 나타났다. 이 차이가 발생한 이유는 McCormick & Kraemer(2002)가 제시한 것처럼 수치해와 해석해 사이의 위상차가 발생하기 때문이다.

4. 결 론

본 연구는 부분 반사율을 갖는 해상 구조물이 해역에 설치될 때 방파제에 기인한 주변의 파랑장을 조사한 것이다. 기본적인 이론은 프레넬 적분과 다항식 근사해법을 적용하여 방파제 배후 영역에서의 산란파에 대하여 비교·분석을 하였다. 이후 다항식 근사해법과 경계적분방정식을 기본으로 하는 수치해법인 경계요소법의 수치결과와도 비교·분석하였다.

해상 구조물은 도제 형태로서 파장에 대한 길이비와 파랑의 입사각도 변화에 따른 산란계수를 분석하였으며, 해석해와 수치해의 산란판 계산결과를 분석하였다.

(1) 파랑이 방파제에 법선방향으로 입사한 경우, 방파제 배후로 산란파의 값은 대칭적으로 나타났고, 프레넬 적분과 다항식의 결과 값이 완벽히 일치하였다. 단, 실선(프레넬 적분)이 사각형 모양(다항식)의 정중앙을 따라 분포하지 않고, 약간의 차이가 발생하였는데, 이는 파랑의 위상차로 인한 것이고, 그 차이는 상당히 미미하였다.

(2) 방파제 중심부의 배후를 나타내며, 방파제의 차단 역할로 인해 파고가 안정적으로 분포하였고, 방파제에 소파제가 설치된 부근에서 산란계수 값이 현저히 작아졌다. 입사파와 산란파가 중복되는 영역에서는 파고의 진폭이 발생하였다.

(3) 파랑이 경사져서 입사하는 경우도 산란계수가 두 해석 간 거의 완벽히 일치하였다. 수치계산 시간이 많은 경우와 복잡한 경계를 설정한 경우 프레넬 적분대신 다항식을 적용하여 방파제 설계가 가능하다고 판단된다.

(4) 파랑이 경사져서 입사한 경우는 파동의 fluctuation이 전반적으로 나타났다. 특히, 라인 A에서 파고의 고저차가 높게 나타났고, 산란계수의 값도 높은 분포를 나타냈다. 라인 E와 F는 방파제 배후임에도 파동의 fluctuation 높이차가 크게 나타났으며, 이는 입사파와 산란파가 중첩이 되어 직접적으로 방파제에 입사하였기 때문이다.

(5) 다항식과 경계요소법(BEM)의 비교에서, 산란계수 값이 전반적으로 일치하였고, 방파제 배후 blank 영역에서 수치해의 결과값이 다소 낮게 나타났다. 이후 전 영역에서 수치해와 해석해가 거의 일치하는 것으로 나타났다.

이상으로 본 연구의 결과는 신항만 건설 시 방파제 및 해상 구조물을 배치할 때 각각의 구조물로 인하여 발생되는 산란의 영향을 제시할 수 있으며, 방파제 설계에 대한 제원 설정과 주변해역과의 상호작용에 대한 정보를 제공할 수 있다.

향후 수치해의 격자 모드를 개선하여 본 연구의 결과와 비교·검토하고, 보다 복잡한 해역에서의 적용성을 검토할 예정이다.

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Journal of the Korean Geo-Environmental Society ISSN:1598-0820(Print) 2714-1233(Online) 한국지반환경공학회 논문집

Preview

Wave Scattering at the Offshore Structure with Partial Reflecting Boundary Using Polynomial Approximation

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1

Definition sketch of analytical solution

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Fig. 2

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater B=1.0L and incident wave angle α=90° for Fresnel Integral and Polynomial Approximation

Fig. 3

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater B=1.0L and incident wave angle α=30° for Fresnel Integral and Polynomial Approximation

Fig. 4

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater B=1.0L and incident wave angle α=90° for Polynomial Approximation and Boundary Element Method

References

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater $B = 1.0 L$ and incident wave angle $α = 90 °$ for Fresnel Integral and Polynomial Approximation

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater $B = 1.0 L$ and incident wave angle $α = 30 °$ for Fresnel Integral and Polynomial Approximation

Comparisons of wave distribution for the length of breakwater $B = 1.0 L$ and incident wave angle $α = 90 °$ for Polynomial Approximation and Boundary Element Method