1. 서 론

지반의 일부가 국부적으로 이완되거나 변위하면 인접 지반과의 상대변위가 발생하고, 경계면에서 발휘되는 전단저항에 의해 하중이 주변 지반으로 전달된다. 이로 인해 변위 영역의 수직응력은 감소하고 주변 지반의 응력은 증가하는데, 이러한 현상을 아칭효과라 한다. 아칭효과는 터널, 굴착, 매설관 및 지반침하 등 다양한 지반공학 문제에서 중요한 역할을 하며, 특히 터널 지보재에 작용하는 하중분포를 평가하는 데 핵심적인 개념이다.

아칭효과에 대한 초기 연구는 Engesser(1882), Bierbaumer(1913), Cain(1916), Marston(1930), Caquot(1934), Völlmy(1937), Terzaghi(1943) 등에 의해 수행되었다. 특히 Terzaghi(1943)는 트랩도어 실험을 통해 아칭효과를 체계적으로 분석하고, 트랩도어 상부 토체가 하향 변위할 때 양측 수직 활동면을 따라 전단저항이 발휘된다고 가정하여 2차원 아칭공식을 제안하였다. 이 연구는 아칭효과를 정량적으로 해석하기 위한 기초를 제공하였으나, 활동면을 수직 경계로 이상화하였기 때문에 실제 지반에서 나타나는 경사진 또는 곡선형 활동면을 충분히 반영하는 데에는 한계가 있다.

이후 많은 연구자들은 Terzaghi의 이론적 틀을 바탕으로 아칭효과를 다양한 조건에서 확장·검토하였다. 관련 연구는 이론적 연구(Nielson, 1966; Getzler et al., 1970; Spangler & Handy, 1982; Adachi et al., 1999; Li et al., 2005; Pirapakaran & Sivakugan, 2007; Singh et al., 2011; Li et al., 2013; Son, 2017), 실험적 연구(McNulty, 1965; Vardoulakis et al., 1981; Paikowsky et al., 1993; Chevalier et al., 2012; Iglesia et al., 2014), 수치해석 연구(Koutsabeloulis & Griffiths, 1989; Chevalier & Otani, 2010; Pardo & Sáez, 2014)로 구분될 수 있다. 이들 연구는 활동면 형상, 지반 변위 조건, 강도정수 및 하중전이 메커니즘이 아칭효과에 미치는 영향을 규명하는 데 기여하였다. 한편, 현장 지반의 층상구조와 깊이별 특성은 관입시험 및 지표투과레이더와 같은 조사기법을 통해 평가될 수 있으며(Kim et al., 2024), 이러한 정보는 제안식의 현장 적용을 위한 지반조건 설정에 보조적으로 활용될 수 있다. 그러나 3차원 조건에 대한 실험 및 수치해석 연구가 수행되어 왔음에도, 이론적 해석에서는 여전히 수직 활동면을 가정한 2차원 평면변형률 조건에 의존하는 경우가 많다. 그러나 3차원 조건에 대한 실험 및 수치해석 연구가 수행되어 왔음에도, 이론적 해석에서는 여전히 수직 활동면을 가정한 2차원 평면변형률 조건에 의존하는 경우가 많다. 실제 활동면은 수직이 아니라 경사진 형태로 발달할 수 있으며, 그 경사각도 깊이에 따라 변화할 수 있다(Costa et al., 2009; Pardo & Sáez, 2014). 기존 연구에서는 수직 활동면을 갖는 3차원 조건(Adachi et al., 1999; Li et al., 2005; Pirapakaran & Sivakugan, 2007), 경사진 활동면을 갖는 2차원 조건(Singh et al., 2011; Li et al., 2013), 일정 경사각을 갖는 3차원 조건(Son, 2017) 등이 제안되었으나, 3차원 조건에서 활동면 경사각이 깊이에 따라 변화하는 경우에 대한 연구는 아직 충분하지 않다.

본 연구에서는 이러한 한계를 보완하기 위해 Terzaghi의 2차원 아칭공식과 기존 3차원 아칭해석식(Son, 2017)을 확장하여, 깊이에 따라 변화하는 경사진 활동면을 반영할 수 있는 수정식을 제안하였다. 활동면 경사각은 지표면에서 90°이고 굴착면에서는 특정 경사각으로 변화하는 것으로 가정하였으며, 깊이 방향으로 선형 변화하는 경사각의 적분평균을 등가 평균 경사각으로 정의하여 그 영향을 모델링하였다.

2. 수정식의 제안

Son(2017)의 기존 연구는 경사진 활동면의 경사각이 모든 깊이에서 일정하다고 가정하였으며, 이는 활동면 경사각이 깊이에 따라 변하지 않는 조건에서는 타당하다. 그러나 실험 및 수치해석 결과(Costa et al., 2009; Pardo & Sáez, 2014)는 Fig. 1과 같이 활동면 경사각이 깊이에 따라 변할 수 있음을 보여준다. 이러한 조건에서 일정 경사각 접근법은 계산을 단순화하여 기본 설계에 쉽게 적용할 수 있다는 장점이 있다. 그러나 일정한 경사각을 사용하는 접근법은 활동면 경사각의 깊이별 변화를 고려하지 못하므로, 복잡한 지반 조건이나 실제 자연지반에서는 아칭효과를 충분히 현실적으로 평가하는 데 한계가 있다. 반면 깊이 의존적 경사각 접근법은 각 깊이에서 변화하는 활동면 경사각을 반영함으로써 실제 활동면의 발달 양상을 보다 합리적으로 모사할 수 있다. 이를 통해 깊이에 따른 응력분포와 아칭효과를 보다 정밀하게 분석할 수 있다. 그러나 이 접근법은 경사각의 깊이별 변화를 직접 고려할 수 있다는 장점에도 불구하고, 계산 과정이 복잡하고 수치적분이 필요하다는 한계가 있다. 또한 경사각 분포에 대한 가정에 민감하기 때문에, 가정된 경사각 변화가 실제 활동면 형상과 다를 경우 해석 오차가 증가하고 결과의 신뢰성이 저하될 수 있다.

Fig. 1

Depth-dependent inclination angle and its average inclination angle

이에 대한 실용적 대안으로, 깊이별 경사각 변화를 등가 평균 경사각으로 대표하는 접근법(Fig. 1)을 적용할 수 있다. 이 방법은 깊이 의존 모델에 비해 계산이 간단하면서도 활동면 경사각 변화의 전반적인 영향을 반영할 수 있다. 따라서 경사각의 복잡한 변화를 완전하게 재현하지는 못하더라도, 대부분의 공학적 문제에서 단순성과 현실성 사이의 합리적인 균형을 제공하며, 효율적이고 신뢰성 있는 아칭효과 평가에 유용하게 활용될 수 있다.

결론적으로, 평균 경사각 접근법은 깊이에 따라 변화하는 활동면 경사각의 영향을 간략하면서도 합리적으로 반영할 수 있는 실용적인 방법이다. 이 방법은 깊이 의존적 경사각 모델에 비해 계산이 단순하면서도, 활동면 형상 변화가 아칭효과와 수직응력 분포에 미치는 주요 영향을 고려할 수 있다는 장점이 있다. 따라서 정확성과 계산 효율성이 함께 요구되는 공학적 적용에 적합하며, 다양한 굴착 조건에서 아칭효과를 고려한 수직응력 평가를 위한 유용한 해석틀을 제공할 수 있다.

본 연구의 평균 경사각 접근법은 활동면 경사각이 깊이에 따라 연속적으로 변화하고, 그 전체적인 영향을 하나의 등가 경사각으로 대표할 수 있다는 가정에 기초한다. 따라서 비교적 균질한 지반에서 활동면이 연속적으로 형성되고, 굴착방법, 변위 수준 및 벽체 조건이 급격하게 변화하지 않는 경우의 예비설계와 매개변수 분석에 적용할 수 있다. 반면, 층상 또는 이질 지반, 절리·약층이 발달한 지반, 국부적인 대변형이나 파괴가 발생하는 조건, 단계별 굴착이나 벽체 강성의 영향으로 활동면이 급격하거나 불연속적으로 변화하는 경우에는 평균 경사각만으로 실제 활동면 형상을 충분히 나타내기 어렵다. 이러한 조건에서는 현장계측, 실험 또는 수치해석을 통해 활동면 형상과 경사각 분포를 별도로 평가할 필요가 있다.

본 연구에서 평균 경사각 α_avg는 깊이에 따라 변화하는 국부 활동면 경사각 α(z)을 하나의 일정한 경사각으로 등가화한 깊이 방향 대표값이다. 이는 실제 활동면의 모든 위치에서 경사각이 동일하다는 의미가 아니라, 깊이 의존적 활동면을 기존의 일정 경사각 3차원 아칭식에 적용하기 위한 1차 근사적 등가 경사각을 의미한다. 깊이 의존적 활동면 경사각 α(z)는 지표면에서 90°, 굴착면에서 α가 되도록 깊이에 따라 선형적으로 변화한다고 가정하였으며, 다음과 같이 정의하였다.

여기서, H는 굴착 깊이이고, z는 지표면으로부터의 깊이이다. 각 깊이 구간이 동일한 비중으로 전체 활동면의 기하학적 특성에 기여한다고 가정하면, 평균 경사각은 다음과 같은 깊이 방향 적분평균으로 정의할 수 있다.

본 연구에서 가정한 선형 경사각 분포를 위 식에 대입하면 평균 경사각은 지표면과 굴착면 경사각의 산술평균으로 정리된다.

따라서 본 연구에서 적용한 산술평균은 임의로 선정한 평균값이 아니라, 활동면 경사각이 깊이에 따라 선형적으로 변화하고 각 깊이 구간에 동일한 가중치를 부여한다는 가정에 따른 적분평균의 결과이다. 평균 경사각은 깊이별 활동면 형상과 국부 전단저항을 모두 재현하기 위한 값이 아니라, 활동면 경사각 변화의 전반적인 영향을 기존 3차원 아칭식에 간략히 반영하기 위한 등가 변수이다. 굴착면 경사각이 60°이고 지표면 경사각이 90°인 경우에는 α_avg=75°가 된다.

이에 따라 깊이 의존적 경사각의 평균 경사각을 고려한 3차원 굴착조건에서의 수직응력은 식 Son(2017)이 제안한 식의 α를 평균각, 즉 깊이에 따른 변화의 평균값(Fig. 1 참조)으로 대체하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, 2B는 굴착 횡방향 폭, 2L은 굴착 종방향 길이, H는 굴착 깊이, z는 지표면으로부터 임의 위치까지의 깊이, γ는 단위중량, c는 점착력, ϕ는 마찰각, K₁은 종방향 토압계수, K₂는 횡방향 토압계수, q는 지표면 상재하중, α_avg는 활동면의 깊이 의존적 경사각에 대한 평균 경사각이다.

현장 조건에서 깊이 의존적 활동면 경사각을 고려할 경우, 평균 경사각 접근법은 Terzaghi 아칭이론의 수직 활동면 가정에 따른 상대적으로 큰 수직응력과 굴착면에서의 일정한 경사각 가정에 따른 상대적으로 작은 수직응력 사이의 중간적인 추정값을 제공한다. 따라서 실제 활동면 경사각이 깊이에 따라 변화할 가능성을 간략히 반영하면서 수직응력을 보다 합리적으로 산정하는 데 활용할 수 있다. 평균 경사각을 이용한 등가화는 깊이에 따라 변화하는 활동면을 하나의 대표 경사각을 갖는 활동면으로 단순화하여 해석식을 실용적인 형태로 유지하기 위한 것이다. 다만 이 방법은 각 깊이에서 나타나는 국부적인 활동면 형상과 전단저항의 변화를 직접적으로 반영하지 못한다. 특히 활동면 경사각이 깊이에 따라 비선형적으로 변화하거나 특정 깊이 구간에 전단저항이 집중되는 경우에는 단순 산술평균을 적용하는 데 한계가 있다. 이러한 조건에서는 깊이별 응력상태 또는 전단저항의 기여도를 고려한 가중평균 경사각을 적용하거나, 활동면 경사각의 깊이별 변화를 직접 반영하는 해석이 필요할 수 있다.

제안된 수정식의 타당성은 여러 관점에서 검증하였다. 우선, 식의 수학적 일관성과 한계조건 만족 여부를 확인하기 위해 다음과 같이 해석적 검증을 수행하였다.

검증 1:

z=0, α_avg=90°, 상재하중=q, L=∞, K₁=K₂=K이면,

σv=1-4B+LK·tan∅-4B+LK·tan∅·q=q,o.k

검증 2:

z=H=∞, α_avg=90°, 상재하중=q, L=∞, K₁=K₂=K이면,

σv=-4BLγ+4cB+L-4B+LKtan∅

B+L=L∵L=∞

σv=-4LBγ-c-4LK·tan∅=Bγ-cK·tan∅,o.k

한편, 본 연구에서 확장한 기존 3차원 아칭식의 수직 활동면 조건 (α = 90°)에 대해서는 Son(2017)이 Adachi et al.(2003)의 실험 결과와 비교하여 식의 적용성과 타당성을 검증한 바 있다. 본 연구의 제안식은 이와 같이 검증된 기존 3차원 아칭식을 기반으로 활동면 경사각의 깊이별 변화를 등가 평균 경사각으로 확장한 것이다. 따라서 α_avg = 90°인 한계조건에서는 기존의 검증된 3차원 해석식과 일치한다. 다만 평균 경사각이 90°보다 작은 조건에 대해서는 직접적으로 대응되는 실험자료가 제한적이므로, 향후 실험 및 수치해석 결과와 추가 비교가 필요하다. 또한 평균 경사각 접근법의 오차는 실제 활동면 경사각의 깊이별 분포, 지반조건 및 굴착 형상에 따라 달라질 수 있다. 현재 평균 경사각이 90°보다 작은 조건에 대해 직접 비교할 수 있는 실험 및 수치해석 자료가 충분하지 않아 향후 다양한 활동면 형상과 굴착조건을 대상으로 실험 및 3차원 수치해석을 수행하고, 그 결과와 제안식으로 산정한 수직응력을 비교함으로써 평균 경사각 및 굴착조건별 오차범위와 적용 한계를 정량적으로 평가할 필요가 있다.

3. 다양한 조건의 영향 분석 및 결과 비교

깊이 의존적 활동면 경사각을 등가 평균 경사각 α_avg로 반영한 제안식을 이용하여, 활동면 형상, 굴착 폭, 굴착 길이 및 굴착 깊이에 대한 매개변수 연구를 수행하였다. 제안식에 의한 결과는 Terzaghi의 2차원 해, 수직 활동면을 가정한 기존 3차원 해석식 및 일정 경사각 조건의 결과와 비교하였다. 이를 통해 굴착조건과 활동면 경사각의 변화가 수직응력에 미치는 영향과 각 해석 결과 간의 상대적인 차이를 검토하였다.

3.1 굴착 폭의 영향

Fig. 2는 굴착 폭 2B = 6 m 및 2B = 10 m 조건에서 굴착 길이 L의 변화에 따른 수직응력 σ_v의 변화를 비교한 것이다. 결과는 Terzaghi의 2차원 아칭해, 수직 활동면을 갖는 3차원 조건 (α = 90°), 깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각으로 반영한 조건 (α_avg = 75°), 그리고 일정 경사각 조건 (α = 60°)에 대해 제시하였다.

Fig. 2

Effect of excavation width with varying inclination angle (H=20m, γ=18kN/m³, c=0, ϕ=35°, q=0, K₁=K₂=1)

전반적으로 3차원 조건에서 산정된 수직응력은 굴착 길이 L이 증가함에 따라 증가하다가, 일정 길이 이상에서는 증가 폭이 점차 감소하여 각 경사각 조건에 대응하는 수렴값에 도달한다. 이는 굴착 길이가 짧을 때에는 굴착부의 종방향 양단부를 통한 하중전이가 함께 발생하여 3차원 아칭효과가 크게 발휘되지만, 굴착 길이가 증가할수록 이러한 종방향 단부효과가 감소하기 때문이다. 특히 수직 활동면을 가정한 α = 90° 조건의 경우, 굴착 길이가 충분히 길어질수록 Terzaghi의 2차원 해에 근접한다. 반면 α_avg = 75° 및 α = 60° 조건은 각각의 활동면 경사각 조건에 따른 고유한 수렴값을 나타낸다.

굴착 폭의 영향도 뚜렷하게 나타난다. 굴착 폭이 2B = 6 m에서 2B = 10 m로 증가하면 모든 조건에서 수직응력이 증가한다. 이는 굴착 폭이 커질수록 굴착부 직상부에서 지지되어야 할 토체의 범위가 확대되고, 이에 따라 하부로 전달되는 연직하중이 증가하기 때문이다. Terzaghi의 2차원 해에서는 굴착 폭 증가에 따라 수직응력이 약 76 kN/m²에서 약 120 kN/m² 수준으로 증가하며, 이는 굴착 폭이 수직응력 산정에 직접적인 영향을 미침을 보여준다.

경사각 조건에 따른 차이도 명확하다. 수직 활동면을 가정한 α = 90° 조건은 가장 큰 수직응력을 나타내며, 굴착 길이가 충분히 길어질 경우 Terzaghi의 2차원 해에 가까워진다. 반면 일정 경사각 α = 60° 조건은 가장 작은 수직응력을 나타내고, 굴착 길이에 따른 증가 폭도 상대적으로 완만하다. 이는 활동면 경사각이 작아질수록 활동토체의 형상과 측면 전단저항 발휘 조건이 달라져 굴착부에 전달되는 수직응력이 감소하기 때문이다.

깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각 α_avg = 75° 로 반영한 경우에는 α = 90° 조건과 α = 60° 조건 사이의 중간적인 결과를 보인다. 긴 굴착 길이에서 수직응력은 2B = 6 m 조건에서 약 62 kN/m², 2B = 10 m 조건에서 약 90 kN/m² 수준으로 수렴한다. 이는 평균 경사각 접근법이 수직 활동면 가정에 따른 상대적으로 보수적인 결과와 완만한 일정 경사각 가정에 따른 상대적으로 비보수적인 결과 사이에서 합리적인 추정값을 제공함을 의미한다.

또한 짧은 굴착 길이 영역에서는 3차원 아칭효과의 영향으로 수직응력이 상대적으로 작게 산정된다. 그러나 굴착 길이가 증가함에 따라 종방향 단부효과가 점차 감소하면서 수직응력은 증가하고, 이후 각 경사각 조건에 따른 일정한 값으로 수렴한다. 이러한 경향은 굴착 길이가 짧을수록 종방향 하중전이가 활발하게 발생하지만, 굴착 길이가 길어질수록 중앙부에서는 평면변형률에 가까운 거동이 지배적으로 나타나기 때문이다.

정리하면, 굴착 폭이 증가할수록 수직응력은 전반적으로 증가하며, 그 영향은 굴착 길이가 길고 활동면 경사각이 클수록 더욱 뚜렷하게 나타난다. 반대로 일정 경사각 α = 60° 조건에서는 수직응력이 가장 작고 증가 경향도 완만하여, 수직 활동면 가정과 비교할 때 상당히 낮은 응력을 예측한다. 평균 경사각 α_avg = 75°를 적용한 깊이 의존적 경사조건은 두 극단적인 경사각 조건 사이에서 균형 있는 결과를 제공하므로, 실제 현장에서 깊이에 따라 활동면 경사각이 변화하는 조건을 실용적으로 반영할 수 있는 방법으로 판단된다.

3.2 굴착 길이의 영향

Fig. 3은 굴착 폭 2B = 8 m 조건에서 굴착 길이 L의 변화에 따른 수직응력 σ_v의 변화를 나타낸 것이다. 결과는 Terzaghi의 2차원 아칭해, 수직 활동면을 갖는 3차원 조건 (α = 90°), 깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각으로 반영한 조건 (α_avg = 75°), 그리고 일정 경사각 조건 (α = 60°)에 대해 비교하였다.

Fig. 3

Effect of excavation length with varying inclination angle (H=20m, γ=18kN/m³, c=0, ϕ=35°, q=0, K₁=K₂=1)

Terzaghi의 2차원 아칭해 (α = 90°)는 종방향 굴착 길이 L의 영향을 고려하지 않는 평면변형률 조건에 기반하므로, 굴착 길이와 관계없이 약 100 kN/m² 수준의 일정한 수직응력을 나타낸다. 이는 Terzaghi 해가 굴착 폭과 지반조건에 따른 수직응력은 반영하지만, 굴착 길이에 따른 3차원 단부효과는 고려하지 못함을 의미한다. 반면 3차원 조건에서는 굴착 길이에 따른 수직응력 변화가 뚜렷하게 나타난다. 수직 활동면을 가정한 3차원 조건 (α = 90°)에서는 굴착 길이가 짧은 경우, 즉 L = 1 m 부근에서 수직응력이 약 18 kN/m² 수준으로 작게 산정된다. 이후 굴착 길이가 증가함에 따라 수직응력은 빠르게 증가하여 L = 10 m 부근에서는 약 70 kN/m², L = 50~100 m 부근에서는 약 90~95 kN/m² 수준에 도달한다. 장대 굴착 조건에서는 약 98~100 kN/m² 수준으로 수렴하며, Terzaghi의 2차원 해에 근접한다. 이는 굴착 길이가 짧을 때에는 종방향 양단부를 통한 하중전이가 크게 발생하여 3차원 아칭효과가 강하게 발휘되지만, 굴착 길이가 증가할수록 이러한 단부효과가 감소하고 중앙부 거동이 점차 2차원 평면변형률 조건에 가까워지기 때문이다. 깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각 α_avg = 75°로 반영한 조건에서도 유사한 증가 및 수렴 경향이 나타난다. 굴착 길이가 짧은 L = 1 m 부근에서는 수직응력이 약 6 kN/m² 수준으로 매우 작게 산정되지만, L이 증가함에 따라 수직응력은 점진적으로 증가한다. L = 10 m 부근에서는 약 40 kN/m², L = 50~100 m 부근에서는 약 67~72 kN/m² 수준으로 증가하며, 장대 굴착 조건에서는 약 76~77 kN/m² 수준으로 수렴한다. 이는 평균 경사각 조건에서도 굴착 길이에 따른 3차원 아칭효과의 변화가 수직응력 산정에 중요한 영향을 미침을 보여준다. 일정 경사각 α = 60° 조건에서는 전체적으로 가장 작은 수직응력이 산정된다. 짧은 굴착 길이에서는 수직응력이 거의 나타나지 않거나 매우 작게 산정되며, L이 증가함에 따라 완만하게 증가한다. L = 50~100 m 부근에서는 약 13~20 kN/m², 장대 굴착 조건에서는 약 25 kN/m² 수준으로 수렴한다. 이는 활동면 경사각이 완만할수록 활동토체의 형상과 측면 전단저항 발휘 조건이 달라져, 수직 활동면 조건에 비해 굴착부로 전달되는 수직응력이 크게 감소하기 때문이다.

종합하면, 굴착 길이 L은 3차원 아칭효과와 수직응력 산정에 매우 중요한 영향을 미친다. 굴착 길이가 짧은 경우에는 종방향 단부효과가 크게 발휘되어 수직응력이 작게 산정되지만, 굴착 길이가 증가할수록 단부효과가 감소하면서 수직응력은 증가하고, 이후 각 경사각 조건에 대응하는 고유한 수렴값에 도달한다. 특히 α = 90° 조건은 장대 굴착 조건에서 Terzaghi의 2차원 해에 근접하는 반면, α_avg = 75° 및 α = 60° 조건은 각각 활동면 경사각 특성에 따른 낮은 수렴값을 나타낸다. 따라서 굴착길이의 영향을 고려하지 않는 2차원 해석은 짧은 굴착 구간에서 수직응력을 과대평가할 수 있으며, 실제 굴착 조건에서는 종방향 길이에 따른 3차원 아칭효과를 함께 고려하는 것이 필요하다. 또한 깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각으로 반영한 접근법은 수직 활동면 가정과 완만한 일정 경사각 가정 사이에서 중간적인 결과를 제공하므로, 실제 현장 조건을 보다 합리적으로 반영할 수 있는 실용적인 방법으로 판단된다.

3.3 굴착 깊이의 영향

Fig. 4는 굴착 폭 2B = 6 m 조건에서 굴착깊이 H = 10 m, 20 m, 및 30 m에 따른 수직응력 σ_v의 변화를 굴착 길이 L에 대해 비교한 것이다. 결과는 Terzaghi의 2차원 아칭해, 수직 활동면을 갖는 3차원 조건 (α = 90°), 깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각으로 반영한 조건 (α_avg = 75°), 그리고 일정 경사각 조건 (α = 60°)에 대해 제시하였다.

Fig. 4

Effect of excavation depth with varying inclination angle (γ=18kN/m³, c=0, ϕ=35°, q=0, K₁=K₂=1)

전반적으로 3차원 조건에서 산정된 수직응력은 굴착 길이 L이 증가함에 따라 증가하고, 일정 길이 이상에서는 각 경사각 조건에 따른 고유한 값으로 수렴하는 경향을 보인다. 이러한 경향은 모든 굴착깊이 조건에서 공통적으로 나타난다. 이는 짧은 굴착 길이에서는 종방향 양단부를 통한 하중전이가 크게 발생하여 3차원 아칭효과가 강하게 발휘되지만, 굴착 길이가 증가할수록 이러한 단부효과가 감소하고 중앙부 거동이 점차 장대 굴착 또는 2차원 조건에 가까워지기 때문이다.

Terzaghi의 2차원 아칭해 (α = 90°)는 종방향 굴착 길이를 고려하지 않으므로, 각 굴착깊이 조건에서 굴착 길이 L과 관계없이 거의 일정한 수직응력을 나타낸다. 다만 굴착깊이가 증가하면 상부 토체의 자중 영향이 커지므로 Terzaghi 해에 의한 수직응력도 증가하는 경향을 보인다. 그러나 H = 20 m 이후에는 증가폭이 크지 않아, 굴착깊이 증가에 따른 수직응력 증가가 점차 완만해지는 것으로 나타난다. 수직 활동면을 갖는 3차원 조건 (α = 90°)에서는 모든 굴착깊이에서 수직응력이 가장 크게 산정된다. 굴착 길이가 짧을 때에는 Terzaghi의 2차원 해보다 훨씬 작은 수직응력이 나타나지만, L이 증가함에 따라 수직응력은 빠르게 증가하여 장대 굴착 조건에서는 Terzaghi 해에 근접한다. 이는 수직 활동면 조건에서 굴착 길이가 충분히 길어지면 종방향 단부효과가 거의 사라지고, 2차원 평면변형률 조건에 가까운 거동이 지배적으로 나타남을 의미한다. 깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각 α_avg = 75°로 반영한 조건에서는 α = 90° 조건보다 작은 수직응력이 산정되지만, α = 60° 조건보다는 큰 값을 보인다. 굴착깊이가 H = 10 m에서 20 m, 30 m로 증가함에 따라 장대 굴착 조건에서의 수렴 수직응력도 점차 증가한다. 이는 굴착깊이가 증가할수록 활동토체의 규모와 상부 토체 자중 영향이 커지기 때문이다. 다만 수직 활동면 조건에 비해 증가폭은 완화되어 나타나며, 이는 평균 경사각 접근법이 깊이에 따른 활동면 형상 변화를 반영하여 과도한 수직응력 산정을 완화하는 효과가 있음을 보여준다. 일정 경사각 α = 60° 조건에서는 모든 굴착깊이에서 가장 작은 수직응력이 산정된다. 굴착 길이가 짧은 경우에는 수직응력이 거의 나타나지 않거나 매우 작게 나타나며, 굴착 길이가 증가하더라도 증가폭은 비교적 완만하다. 장대 굴착 조건에서는 굴착깊이가 증가함에 따라 수직응력이 다소 증가하지만, 다른 경사각 조건에 비해 여전히 낮은 수준으로 수렴한다. 이는 완만한 활동면 경사각을 가정할 경우 활동토체의 형상과 전단저항 발휘 조건이 달라져, 굴착부로 전달되는 수직응력이 크게 감소하기 때문이다. 굴착깊이의 영향은 특히 장대 굴착 조건에서 보다 명확하게 나타난다. 굴착 길이가 짧은 경우에는 종방향 단부효과가 크게 작용하여 굴착깊이 변화에 따른 수직응력 차이가 상대적으로 제한적이거나 경사각 조건에 따라 불규칙하게 나타날 수 있다. 반면 굴착 길이가 충분히 길어지면 단부효과가 감소하고 각 조건별 수렴값이 형성되므로, 굴착깊이 증가에 따른 수직응력 증가 경향이 보다 분명하게 나타난다.

종합하면, 굴착깊이는 수직응력 산정에 중요한 영향인자이며, 그 영향은 굴착 길이 및 활동면 경사각 조건과 함께 나타난다. 굴착깊이가 증가할수록 상부 토체의 자중 영향이 커져 수직응력은 전반적으로 증가하지만, 그 증가 정도는 활동면 경사각 조건에 따라 크게 달라진다. 수직 활동면 조건 (α = 90°)은 가장 큰 수직응력을 예측하고, 일정 경사각 (α = 60°) 조건은 가장 작은 수직응력을 예측한다. 이에 비해 평균 경사각 (α_avg = 75°)을 적용한 깊이 의존적 경사조건은 두 극단적인 조건 사이에서 중간적인 결과를 제공하므로, 실제 현장에서 깊이에 따라 활동면 경사각이 변화하는 조건을 보다 현실적으로 반영할 수 있는 실용적인 접근법으로 판단된다.

3.4 변수별 상대적 영향

이상의 결과를 종합하면, 굴착 길이, 굴착 폭, 굴착 깊이 및 평균 경사각 α_avg이 수직응력에 미치는 영향은 굴착조건에 따라 다르게 나타났다. 굴착 길이는 짧은 굴착조건에서 종방향 단부효과를 통해 수직응력에 크게 영향을 미치지만, 길이가 증가하면 그 영향은 점차 감소하고 수직응력은 일정한 값으로 수렴한다. 굴착 폭이 증가하면 굴착부 직상부에서 지지되어야 하는 토체의 범위가 확대되어 수직응력이 증가한다. 굴착 깊이의 영향은 짧은 굴착조건에서는 상대적으로 제한적이지만, 굴착 길이가 충분히 증가한 조건에서는 상부 토체의 자중 증가에 따라 보다 명확하게 나타난다.

평균 경사각 α_avg의 영향 역시 굴착 폭, 길이 및 깊이 조건에 따라 달라진다. 특히 장대 굴착조건에서는 종방향 단부효과가 감소하므로 활동면 경사각에 따른 수직응력 차이가 보다 명확하게 나타난다. 따라서 실무적으로는 짧은 굴착조건에서는 굴착 길이와 3차원 단부효과를 우선적으로 고려하고, 장대 굴착조건에서는 굴착 폭, 굴착 깊이 및 평균 경사각의 영향을 함께 검토할 필요가 있다.

4. 결 론

본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 도출하였다.

(1) 본 연구에서는 Terzaghi의 2차원 아칭이론과 기존 3차원 아칭해석식을 확장하여, 깊이에 따라 변화하는 활동면 경사각을 등가 평균 경사각 α_avg로 반영한 수정식을 제안하였다. 제안식은 수직 활동면을 가정한 기존 해석의 한계를 보완하면서, 실제 지반에서 나타날 수 있는 경사진 활동면의 영향을 보다 합리적으로 고려할 수 있는 해석틀을 제공한다.

(2) 제안식은 해석적 검증을 통해 기본 경계조건과 기존 이론식으로의 환원 가능성을 확인하였다. 특히 지표면 조건에서는 상재하중 q와 일치하는 결과를 보였고, 장대 굴착 및 수직 활동면 조건에서는 Terzaghi식과 부합하는 결과를 나타내어 수학적 일관성과 적용 가능성을 확인하였다.

(3) 평균 경사각 접근법은 깊이 의존적 활동면 경사각을 직접 적분하는 방법에 비해 계산이 단순하면서도, 활동면 경사각 변화가 수직응력 및 아칭효과에 미치는 주요 영향을 반영할 수 있는 것으로 나타났다. 따라서 경사각의 깊이별 변화를 완전하게 모사하지는 않더라도, 실제 설계 및 해석에서 요구되는 계산 효율성과 현실성 사이의 합리적인 균형을 제공하는 실용적 접근법으로 활용될 수 있다. 다만 본 방법은 활동면이 연속적으로 변화하는 비교적 균질한 지반조건에 적합하며, 지층의 불균질성, 불연속면, 대변형 및 굴착단계의 영향으로 활동면이 복잡하게 변화하는 경우에는 적용에 주의가 필요하다.

(4) 매개변수 분석 결과, 굴착 폭, 굴착 길이 및 굴착 깊이는 수직응력 산정에 중요한 영향을 미치는 것으로 나타났다. 굴착 폭과 굴착 깊이가 증가할수록 수직응력은 전반적으로 증가하였으며, 굴착 길이가 짧은 경우에는 종방향 단부효과로 인해 3차원 아칭효과가 크게 발휘되어 수직응력이 작게 산정되었다. 반면 굴착 길이가 증가하면 단부효과가 감소하여 수직응력은 증가하고, 각 경사각 조건에 따른 고유한 수렴값에 도달하였다. 이러한 결과로부터 짧은 굴착에서는 굴착 길이와 종방향 단부효과가 상대적으로 중요하며, 장대 굴착에서는 굴착 폭, 굴착 깊이 및 평균 경사각에 따른 수직응력 차이가 보다 명확하게 나타나는 것을 확인하였다.

(5) 활동면 경사각은 수직응력 산정 결과에 큰 영향을 미쳤다. 수직 활동면 (α = 90°) 조건은 상대적으로 큰 수직응력을 예측하고, 일정 경사각 (α = 60°) 조건은 상대적으로 작은 수직응력을 예측하였다. 이에 비해 깊이 의존적 활동면 경사각을 평균 경사각 (α_avg = 75°)으로 반영한 접근법은 두 조건 사이의 중간적이고 균형 잡힌 결과를 제공하였다. 따라서 평균 경사각 접근법은 계산의 단순성을 유지하면서도 깊이에 따른 활동면 형상의 전반적인 변화를 반영할 수 있는 실용적인 방법으로 판단된다. 다만 본 연구에서 적용한 평균 경사각은 활동면 경사각이 깊이에 따라 선형적으로 변화하고 각 깊이 구간이 동일한 비중으로 기여한다는 가정에 기초한 1차 근사값이다. 따라서 활동면 경사각이 비선형적으로 변화하거나 깊이별 전단저항의 기여도가 서로 다른 조건에 대해서는 응력상태 또는 전단저항을 고려한 가중평균 경사각의 적용성을 향후 연구에서 검토할 필요가 있다.